Thực đơn
Hàm_lượng_giác Trên trường số phứcTừ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:
e i θ = cos θ + i sin θ . {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,.}Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.
Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = eix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.
Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:
sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 = e ı z − e − ı z 2 ı = − ı sinh ( ı z ) {\displaystyle \sin z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{\imath z}-e^{-\imath z} \over 2\imath }=-\imath \sinh \left(\imath z\right)} cos z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n = e ı z + e − ı z 2 = cosh ( ı z ) {\displaystyle \cos z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{\imath z}+e^{-\imath z} \over 2}=\cosh \left(\imath z\right)}Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực
cos x = Re ( e ı x ) {\displaystyle \cos x\,=\,{\mbox{Re }}(e^{\imath x})} sin x = Im ( e ı x ) {\displaystyle \sin x\,=\,{\mbox{Im }}(e^{\imath x})}Thực đơn
Hàm_lượng_giác Trên trường số phứcLiên quan
Hàm lượng giác Hàm liên tục Hàm lồi Hàm Lyapunov Hàm logistic Hàm lỗi Hàm Long Hàm lồi chính thường Hàm logarit Hàm LiêmTài liệu tham khảo
WikiPedia: Hàm_lượng_giác http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm http://babbage.clarku.edu/~djoyce/java/trig/ http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ http://www.usfca.edu/vca http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf http://d-nb.info/gnd/4186137-1 http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00570156 http://www.hkshum.net/Math http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopic...